线性代数复习

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第一章 行列式(基础)

  1. 概念
  2. 性质
  3. 展开式
  4. 计算
  5. 证|A|=0
  6. 应用

数字型:①三角化法②公式法③递推法
抽象型: ①用行列式性质②矩阵性质③特征值

主要公式:

  1. 上(下)三角行列式的值等于主对角线元素的乘积
  2. 关于副对角线的行列式:|A|=$(-1)^{n(n-1)/2}a_{1n}a_{2,n-1}...a_{n1}$
  3. 拉普拉斯展开式
  4. 范德蒙行列式
  5. 特征多项式

典型例题类型:

数字型行列式 --抽象性行列式 --特征多项式 --矩阵秩 --|A|=0 --克拉默法则 --代数余子式求和

第二章 矩阵

  1. 概念
  2. 运算
  3. 初等变换
  4. 逆矩阵
  5. 特殊矩阵:

伴随矩阵
对称矩阵
反对称矩阵
正交矩阵
对角矩阵

典型例题类型:

矩阵运算 --伴随矩阵 --可逆矩阵 --初等矩阵 --正交矩阵 --矩阵方程

第三章 n维向量

  1. 运算:加法,数乘,内积-----Schmidt正交化
  2. 线性表示:概念,判定
  3. 线性相关:概念,判定
  4. 线性无关--极大线性无关组--向量组的秩

典型例题类型:

线性相关 --线性表出 --向量组的秩 --矩阵的秩

第四章 线性方程组

  1. 形式:齐次线性方程组;非齐次线性方程组--有无解判定
  2. 向量形式
  3. 解的性质
  4. 解的结构

典型例题类型:

基础解系 --解方程组 Ax=b --有解判定,解的结构,性质 --公共解,同解 --方程组的应用

第五章 特征值与特征向量

  1. 定义:A$\alpha$=$\lambda \alpha$
  2. 求法
  3. 性质
  4. 相似:定义;可对角化(矩阵A有n个线性无关的特征向量)
  5. 实对称矩阵

典型例题类型:

特征值与特征向量 --相似,相似对角化 --相似对角化时的可逆矩阵P --求参数的问题 --用相似求$A_n$ --反求矩阵A --实对称矩阵

第六章 二次型

  1. 矩阵表示:$X^TAX$---二次型矩阵
  2. 标准形---规范形---正负惯性指数---坐标变换---合同变换(C可逆,$C^TAC=B$)
  3. 正定---任何X$\neq$0,$X^TAX>0$===>正定二次型

典型例题类型:

二次型的基本概念 --二次型的标准形 --二次型的正定形 --矩阵的等价,相似,合同
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最后修改于:2021年08月16日 11:20

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